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中国大学MOOC数学的奥秘：本质与思维作业答案

数学的奥秘：本质与思维

学校: 无

平台: 超星学习通

题目如下：

1. 设 与 是任意两个正数， ，那么关于 ， 的大小关系是（）。

A.

B.

C.

D. 不确定

答案:

2. 函数f(x)=-Inx的凸凹性是（）。

A. 视情况而定

B. 暂时无法证明

C. 凹函数

D. 凸函数

答案: 凸函数

3. 下列关于 ， （ ）的说法正确的是（）。

A.

B.

C.

D. 不确定

答案:

4. 若曲线在拐点处有切线，则曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧。（）

答案: 正确

5. 若函数ƒ(x)在区间I的范围上是凸（凹）的，则-ƒ(x)在区间I内是凹（凸）。（）

答案: 正确

6. 对任意常数 ,比较 与 的大小?()

A. >

B. <

C. =

D. 不确定

答案: =

7. 如果在 上， ，则 与 的大小（）。

A. =

B.

C.

D. 不确定

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8. 不论 的相对位置如何，比较 与 的大小？（）

A. >

B. =

C. <

D. 不确定

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9. 区间[a,b]上的连续函数与只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）

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10. 求由内摆线(星形线) 绕x轴旋转所成的旋转体的体积?

A.

B.

C.

D.

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11. 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积?

A.

B.

C.

D.

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12. 设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为。

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13. 用一元函数的定积分能够计算旋转体的体积。（）

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14. 求椭圆绕轴旋转所得旋转体的体积？

A.

B.

C.

D.

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15. 求阿基米德螺线 上从 到 一段的弧长？（）

A.

B.

C.

D.

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16. 心形线ρ=α(1+cosφ)的周长是（）。

A. 3α

B. 6α

C. 8α

D. α

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17. 若曲线为，则弧长大于。（）

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18. 如果曲线为，则弧长大于。（）

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19. 求反常积分 =？

A.

B.

C.

D.

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20. 求无穷积分 =？（）

A.

B.

C.

D.

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21. 当ƒ(x)在有界区间I上存在多个瑕点时，ƒ(x)在I上的反常积分可以按常见的方式处理。如，可设ƒ(x)是区间[a,b]上的连续函数，点a,b都是瑕点，则可以任意取定c∈(a,b)，如果在区间[a,c]和[c,b]上的反常积分同时收敛，那么在区间[a,b]上的反常积分也收敛。

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22. 根据亚伯拉罕诸教，加百列是负贵为神传递信息的天使长，有灾难性的危险的时候会鸣响他的喇叭，也就是天使的号角。（ ）

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23. 当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分发散。（）

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24. 求积分 =？

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

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25. 慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，是否咖啡中有一点在搅拌前后位置相同？（）

A. 没有

B. 需要考虑搅拌方式

C. 尚且无法证明

D. 有

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26. 如果你去登山，上午6点从山脚出发，一路上走走停停，直到中午12点才到山顶。然后你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）

A. 没有

B. 需要考虑具体情况

C. 尚且无法证明

D. 有

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27. 如果你正在一个圆形的公园里游玩，手里的公园地图掉在了地上，此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（）

A. 没有

B. 需要考虑具体情况

C. 尚且无法证明

D. 有

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28. 设为维单位闭球，是连续映射，则不存在一点，使得。

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29. 设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则不存在一点，使得。

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30. 求幂级数 的收敛区间？（）

A.

B.

C.

D.

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31. 求幂级数 的和函数？

A.

B.

C.

D.

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32. 幂级数和它逐项求导后的级数以及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）

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33. 设幂级数 和 的收敛半径分别为 ,则和级数 = + 的收敛半径 .

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34. 设幂级数 在 处收敛，则此级数在 处？

A. 条件收敛

B. 绝对收敛

C. 发散

D. 不确定

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35. 下列著作（）可视为调和分析的发端。

A. 《自然哲学的数学原理》

B. 《代数几何原理》

C. 《热的解析理论》

D. 《几何原本》

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36. 函数 在 上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是 ,问其中Fourier系数 的表达式是？

A.

B.

C.

D.

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37. Fourier的工作使得对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）

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38. 1822年Fourier发表了《热的解析理论》。（）

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39. 式子 （其中 ）的值是什么？

A. 1

B. 0

C.

D. -1

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40. 求函数 的麦克劳林公式。（）

A.

B.

C.

D.

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41. 函数 在 处的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式为（）。

A.

B.

C.

D.

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42. 函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更差的近似精度。()

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43. 泰勒公式是拉格朗日中值公式的延伸。（）

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44. 函数 在 处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。

A.

B.

C.

D.

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45. 求函数 的麦克劳林公式？（）

A.

B.

C.

D.

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46. 函数 在 处的三阶麦克劳林公式为（）。

A.

B.

C.

D.

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47. 泰勒公式是麦克劳林公式在时的特殊情形。（）

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48. 若ƒ(x)在x=0的邻域内有n阶连续的导数，并且可以表达为n阶多项式带余项的形式，则该表达式唯一。（）

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49. 如果在的邻域内有阶连续的导数并且可以表达为，那么该表达式不唯一。（）

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50. 当 时， 是几阶无穷小？（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

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51. 麦克劳林公式是泰勒公式在x=0展开时的特例。 （）

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52. 多项式 在 上有几个零点？（）

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

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53. 求函数极限 。（）

A. 1

B.

C.

D. 2

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54. 泰勒公式给出的在局部用多项式逼近函数的表达式，是计算的重要工具。（）

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55. 通常来说，若应用导数研究函数性质只涉及一阶导数，则考虑使用中值定理，若问题涉及高阶导数时，则考虑泰勒展式。（）

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56. 求 的近似值，精确到 。（）

A. 0.173647

B. 0.134764

C. 0.274943

D. 0.173674

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57. 定义在区间[0，1]上的黎曼函数在无理点是否连续？（）

A. 不连续

B. 取决于具体情况

C. 尚且无法证明

D. 连续

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58. 函数 ， ，则 是该函数的（）？

A. 跳跃间断点

B. 可去间断点

C. 无穷间断点

D. 振荡间断点

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59. 函数的连续性描述属于函数的整体性质。（）

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60. 函数在点不连续，则在点有定义，存在，=。（）

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61. 改变或增加数列 的有限项，影不影响数列 的收敛性？（）

A. 影响

B. 不影响

C. 视情况而定

D. 无法证明

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62. 对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 是数列 收敛于 的什么条件？（）

A. 充分条件但非必要条件

B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分条件也非必要条件

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63. 收敛数列的极限是不会发生变化的。（）

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64. 收敛的数列一定是有界数列。（）

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65. 下列数列收敛的的是（）。

A.

B.

C.

D.

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66. 下列数列不是无穷小数列的是（）。

A.

B.

C.

D.

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67. 下列数列发散的是（）。

A.

B.

C.

D.

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68. 函数极限是描述自变量变化情形下函数的变化趋势。（）

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69. 汉字（）可以一笔不重复的写出。

A. 木

B. 日

C. 田

D. 甲

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70. 七桥问题解决的同时，开创的数学分支是（）。

A. 图论与拓扑学

B. 抽象代数

C. 泛函分析

D. 数论

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71. 偶数和正整数哪个数量更多？（）

A. 正整数多

B. 一样多

C. 无法确定

D. 偶数多

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72. 学习数学的最重要的目的是锻炼自己的数学抽象能力。（）

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73. （）写了《几何原本杂论》。

A. 祖冲之

B. 张丘

C. 杨辉

D. 徐光启

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74. 美国总统（）喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力。

A. 林肯

B. 布什

C. 华盛顿

D. 罗斯福

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75. 紧贴赤道围着地球做一个环形的箍，若将这个箍加长一米，则小老鼠不可以从箍和地面的间隙中通过。（）

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76. （）解决了相对论和量子力学之间的矛盾。

A. 夸克理论

B. 弦理论

C. 质子理论

D. 中子理论

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77. 弦理论认为宇宙是（）维的。

A. 3

B. 11

C. 10

D. 4

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78. 我们称天王星是“笔尖上发现的行星”。（）

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79. 在素质教育中，数学是重要的载体。（）

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80. 下列在闭区间 上的连续函数，一定能够在 上取到零值的是？（）

A.

B.

C.

D.

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81. 方程 在 上是否有实根？

A. 没有

B. 至少有1个

C. 至少有3个

D. 不确定

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82. 关于闭区间上连续函数，下面说法正确的是？（）

A. 在该区间上可以取得最大值

B. 在该区间上可以取得最小值

C. 在该区间上有界

D. 在该区间上可以取到零值

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83. 连续函数的复合函数依旧为连续函数。（）

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84. 有限个连续函数的和（积）还是连续函数。（）

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85. 方程 在 有无实根，下列说法正确的是？（）

A. 没有

B. 至少1个

C. 至少3个

D. 不确定

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86. 函数在区间（）上连续。

A.

B.

C.

D.

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87. 均在处不连续，但在处不可能连续。（）

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88. 若Δy=ƒ(x+Δx)-ƒ(x)，则当Δx→0时必有Δy→0。

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89. 下列结论错误的是（）。

A. 若函数ƒ(x)在区间[a,b]上不连续，则该函数在[a,b]上无界

B. 若函数ƒ(x)在区间[a,b]上有定义，且在(a,b)内连续，则ƒ(x)在[a,b]上有界

C. 若函数ƒ(x)在区间[a,b]上连续，且ƒ(a)ƒ(b)≤0，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得ƒ(ξ)=0

D. 若函数ƒ(x)在区间[a,b]上连续，且ƒ(a)=ƒ(b)=0，且分别在x=a的某个右邻域和x=b的某个左邻域单调增，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得ƒ(ξ)=0

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90. 当（）时，变量 为无穷小量。

A.

B.

C.

D.

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91. 设 ，则当 时（）。

A. 是比 高阶的无穷小量。

B. 是比 低阶的无穷小量。

C. 是与 等价的无穷小量

D. 是与 同阶但不等价的无穷小量

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92. 无穷小是指一个过程，而不是一个具体的数。（）

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93. 若 均为 的可微函数，求 的微分。（）

A.

B.

C.

D.

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94. 设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，则 （）。

A.

B. 1

C. 2

D.

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95. 已知 ，则 =（）。

A. 1

B. 0.1

C. 0

D. 0.2

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96. 设 为奇函数， 存在且为-2，则 =（）。

A. 10

B. 5

C. -10

D. -5

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97. 导数反映了函数随自变量变化的快慢程度。（）

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98. 导数在几何上表示在点处割线的斜率。（）

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99. 一个圆柱体，半径是柱高的两倍，随后圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积变化为（）。

A. 先增后减

B. 先减后增

C. 单调增加

D. 单调减少

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100. 求函数 （ ）的导数。（）

A.

B.

C.

D.

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101. 任何常函数的导数都是0。（）

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102. 设 ， ，则 （）。

A.

B.

C.

D.

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103. 方程 正根的情况，下面说法正确的是（）。

A. 至少一个正根

B. 只有一个正根

C. 没有正根

D. 不确定

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104. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.

A.

B.

C.

D.

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105. 不求出函数 的导数，说明方程 有（）个实根。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

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106. 函数 满足罗尔中值定理。

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107. 罗尔中值定理告诉我们：可导函数在区间内取得极值点处的切线斜率为零。（）

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108. 对任意 ，不等式 成立吗？（）

A. 成立

B. 不成立

C. 视情况而定

D. 无法证明

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109. 设函数 在 可导，取定 ，在区间 上用拉格朗日中值定理，有 ，使得 ，这里的 是 的函数。（）

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110. 设 ，下列不等式正确的是（）。

A.

B.

C.

D.

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111. （）。

A.

B.

C.

D.

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112. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的延伸，罗尔定理是拉格朗日中值定理在函数两端值相等时的特例。（）

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113. 求极限 。（）

A.

B.

C.

D.

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114. 求极限 =（）。

A. 0

B. 1

C.

D. 2

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115. 求极限 =（）。

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

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116. 洛必达法则可知：若极限ƒ′(x)/g′(x)不存在，则极限ƒ(x)/g(x)也不存在。()

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117. 不是所有型0/0,∞/∞未定式都可以用洛必达法则来求极限。()

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118. 一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限。（）

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119. 若ƒ(x)在0某邻域（0除外）内均有ƒ(x)≥0（或ƒ(x)≤0），且函数ƒ(x)当x趋于0时极限为A，那么A≥0（或A≤0）。

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120. 函数ƒ(x)在x趋于0的情况下以A为极限，则A唯一。（）

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121. 阿基米德利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。（）

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122. 若在区间 上 ，则 或 的大小顺序为（）。

A.

B.

C.

D.

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123. 函数ƒ(x)=sinx-x在零点的个数是（）。

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

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124. 函数ƒ(x)=x-arctanx的单调性是（）。

A. 在(-∞,∞)内先增后减

B. 不确定

C. 在(-∞，∞)内单调递增

D. 在(-∞,∞)内单调递减

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125. 若可导函数ƒ(x)在区间I上单调，则其导函数ƒ′(x)也单调。（）

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126. 求函数 的极值。（）

A. 为极大值

B. 为极小值

C. 为极大值

D. 为极小值

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127. 求函数 的极值。（）

A. 为极大值, 为极小值

B. 为极小值， 为极大值

C. 为极大值， 为极小值

D. 为极小值， 为极大值

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128. 为何值时，函数 在 处取得极值？（）

A.

B.

C.

D.

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129. 函数ƒ(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点必定也是极大（小）值点。（）

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130. 作半径为r的球的外切正圆锥，圆锥的高为（）时，能使圆锥的体积最小。

A. 2r

B. 3r

C. 4r

D. r

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131. 函数 的最值情况为（）。

A. 最大值为

B. 最小值为

C. 没有最值

D. 以上说法都不正确

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132. 驻点一定都是极值点。（）

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133. 最值点一定就是极值点。（）

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134. 设f(x)=4x³-3x，则（）。

A. x=-1/2是极小值点，1/2是极大值点，0是拐点

B. x=-1/2是极大值点，1/2是极小值点，0不是拐点

C. x=-1/2是极大值点，1/2是极小值点，0是拐点

D. x=-1/2是极小值点，1/2是极大值点，0不是拐点

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135. 设函数ƒ(x)=|x(1-x)|，下列说法中不正确的是（）。

A. x=0是ƒ(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点

B. x=0不是ƒ(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

C. x=0是ƒ(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

D. x=0不是ƒ(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点

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136. 函数的关键几何特征包括：函数的周期性，奇偶性，单调性，连续性，凹凸性等。（）

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137. 研究函数时，描绘函数图像来形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法。（）

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138. 求不定积分 ？（）

A.

B.

C.

D.

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139. 求不定积分 ？（）

A.

B.

C.

D.

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140. 求不定积分 ？()

A.

B.

C.

D.

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141. 定义在区间内的连续函数存在原函数。（）

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142. 求不定积分 ？（）

A.

B.

C.

D.

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143. 求不定积分 ？（）

A.

B.

C.

D.

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144. 函数的和的不定积分也等于各个函数不定积分的和。（）

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145. 求解不定积分常用的三种基本方法依次为:第一换元法、第二换元法、分部积分法。()

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146. 求解微分方程 的通解？（）

A.

B.

C.

D.

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147. 求解微分方程 ?（）

A.

B.

C.

D.

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148. 求微分方程 的形如 的解？（）

A.

B.

C. ，

D. 以上都错误

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149. 微分方程的通解囊括了微分方程的所有解。（）

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150. 阿基米德是如何把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）

A. 先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明

B. 先用穷竭法求解面积，再用平衡法加以证明

C. 用平衡法去求面积

D. 用穷竭法去证明

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151. （）是阿基米德生活的年代区间。

A. 公元前297-前212

B. 公元前287-前212

C. 公元前288-前210

D. 公元前280-前212

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152. 阿基米德使用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。（）

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153. 阿基米德使用穷竭法得到弓形区域的面积。（）

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154. 现代微积分通行符号的首创者是（）。

A. 欧几里得

B. 牛顿

C. 莱布尼兹

D. 费马

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155. 微分思想与积分思想两种思想（）出现得更早。

A. 同时出现

B. 不确定

C. 微分

D. 积分

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156. 微积分于十七世纪才初见端倪。（）

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157. 微积分创立的初期牛顿和莱布尼兹都没能解释无穷小量和零的区别。（）

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158. 求定积分 =？（）

A.

B. 1

C.

D.

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159. 设 ，则 =？（）

A.

B. +C

C.

D. 都不正确

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160. 函数 x在区间[0,1]上的定积分是（）。

A. 2

B. 1/2

C. 1/4

D. 1

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161. 积分

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162. 牛顿-莱布尼兹公式不但为计算定积分提供了一个有效的方法，并且在理论上也把定积分与不定积分联系了起来。（）

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163. 求由抛物线 和 所围成平面图形的面积？

A.

B.

C.

D.

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164. 求椭圆 所围成图形的面积？

A.

B.

C.

D.

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165. 求一曲边形的面积实际上是求一个函数的不定积分。（）

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166. 初等数学一般只考虑直边形的面积。（）

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167. 一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做（）功能把这一链条全部拉上建筑物的顶部。

A. 2744(J)

B. 2800(J)

C. 2844(J)

D. 2700(J)

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168. 设有一长度为l,线密度为μ的均匀直棒,在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.试计算该棒对质点的引力?

A.

B.

C.

D.

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169. 微元分析法的思想即以直代曲和舍弃高阶无穷小量方法，即用“不变代变”思想。（）

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170. 微元分析法是处理面积，体积，功等具有可加性问题的重要思想方法。（）

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171. 函数 在实数域上的不动点是什么？（）

A. -4

B. -2

C. -1

D. 0

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172. 定义在区间[0，1]上的连续函数空间是（）维的。

A. 2维

B. 11维

C. 无穷维

D. 1维

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173. 有限维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）

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174. Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理的关系是（）。

A. 没有关系

B. 等价

C. 前者包含后者

D. 后者包含前者

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175. 美籍法裔经济学家G.Debreu由于（）贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖。

A. 运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论

B. 对资产价格的实证分析

C. 创立了一般均衡理论

D. 在非合作博弈的均衡理论方面做出了开创性贡献

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176. 电影“a beautiful mind”中男主人公的原型是一位经济学家，同时又是一位大数学家，他是（）。

A. J.F. Nash

B. L.V. Kantorovich

C. Adam Smith

D. G. Debreu

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177. 不完全性定理是由（）建立的。

A. 庞加莱

B. 希尔伯特

C. 巴拿赫

D. 哥德尔

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178. 下列选项中，（）是产生悖论的根源。

A. 构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念

B. 如利用康托尔朴素的集合论的概括原则构成集合

C. 无限概念的参与

D. 人们对客观世界认识的局限性

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179. 关于数学危机，下列说法正确的是？（）

A. 第一次数学危机是无理数的发现，芝诺提出了著名的悖论，把无限性，连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来。

B. 第二次数学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿，莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论。

C. 第三次数学危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论，动摇了集合论的基础。

D. 经过这三次数学危机，数学已经相当完善，不会再出现危机了。

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